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第 1 章：Lagrange 力学

1.1 基本概念

填空 系统的 Lagrangian 定义为 \(L =\) 。对广义坐标 \(q_i\)，Euler-Lagrange 方程为：
\(L = T - V\)；Euler-Lagrange 方程： \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
填空 若 \(L\) 不显含广义坐标 \(q_i\)（即 \(q_i\) 为循环坐标），则对应的守恒量是 ，其值为 。
广义动量 \(p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 守恒。
填空 若 \(L\) 不显含时间 \(t\)，则守恒的能量函数（Jacobi 积分）为 \(h =\) ，当 \(T\) 是 \(\dot{q}_i\) 的二次齐次函数时，\(h =\) 。
\[h = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L\] 当 \(T\) 是 \(\dot{q}_i\) 的二次齐次函数时，\(h = T + V = E\)。

1.2 单摆与球面摆

填空 长为 \(l\) 的单摆，以摆角 \(\theta\) 为广义坐标，Lagrangian 为 \(L =\) ，运动方程为 ，小角近似下振动频率 \(\omega_0 =\) 。
\[L = \tfrac{1}{2}ml^2\dot\theta^2 + mgl\cos\theta\] 运动方程：\(\ddot\theta + \dfrac{g}{l}\sin\theta = 0\)；小角近似：\(\omega_0 = \sqrt{g/l}\)。
简答 质量为 \(m\) 的粒子被约束在半径为 \(R\) 的固定球面上，受重力 \(g\)。以球坐标 \((\theta,\phi)\) 为广义坐标（\(\theta\) 为极角）：
(a) 写出 Lagrangian；
(b) 指出两个守恒量及其物理意义；
(c) 若粒子在 \(\theta = \theta_0\) 的水平圆上匀速运动，求角速度 \(\omega\)。
(a) \(L = \tfrac{1}{2}mR^2(\dot\theta^2 + \sin^2\!\theta\,\dot\phi^2) + mgR\cos\theta\)

(b) \(\phi\) 为循环坐标，\(p_\phi = mR^2\sin^2\!\theta\,\dot\phi = M_z\) 守恒（角动量 \(z\) 分量）；\(L\) 不显含 \(t\)，能量 \(E = \tfrac{1}{2}mR^2(\dot\theta^2+\sin^2\!\theta\,\dot\phi^2) - mgR\cos\theta\) 守恒。

(c) 水平圆：\(\dot\theta=0,\ddot\theta=0\)，由 \(\theta\) 的 E-L 方程： \[mR^2\ddot\theta = mR^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\phi^2 - mgR\sin\theta = 0\] \[\Rightarrow \omega = \dot\phi = \sqrt{\frac{g}{R\cos\theta_0}}\]

1.3 约束与广义力

填空 圆柱面上的滑动：质量 \(m\) 的粒子在半径 \(R\) 的竖直圆柱外表面滑动（无摩擦），从顶部静止释放。用极角 \(\theta\)（从顶部量起）描述运动，能量守恒给出 \(\dot\theta^2 =\) ，法向方程给出法向力 \(N =\) ，粒子脱离圆柱面的条件 \(N=0\) 对应 \(\cos\theta =\) 。
能量守恒（从顶部静止）：\(\tfrac{1}{2}mR^2\dot\theta^2 = mgR(1-\cos\theta)\)，故 \(\dot\theta^2 = \dfrac{2g(1-\cos\theta)}{R}\)。

法向（向心）方程：\(mg\cos\theta - N = mR\dot\theta^2\)，故 \[N = mg\cos\theta - 2mg(1-\cos\theta) = mg(3\cos\theta - 2)\] \(N=0\) 时 \(\cos\theta = 2/3\)。
简答 质量为 \(m\) 的圆盘（半径 \(r\)，转动惯量 \(I = \tfrac{1}{2}mr^2\)）在斜面（倾角 \(\alpha\)）上无滑动地滚动。以质心位移 \(x\) 为广义坐标：
(a) 写出 Lagrangian（利用无滑动约束消去转角）；
(b) 求质心加速度 \(\ddot x\)；
(c) 与无摩擦滑动相比，加速度减小了多少？
(a) 无滑动约束：\(\dot\phi = \dot x/r\)，故 \[T = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 + \tfrac{1}{2}I\dot\phi^2 = \tfrac{1}{2}m\dot x^2 + \tfrac{1}{4}mr^2\cdot\frac{\dot x^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}m\dot x^2\] \[L = \tfrac{3}{4}m\dot x^2 - (-mgx\sin\alpha) = \tfrac{3}{4}m\dot x^2 + mgx\sin\alpha\] (b) E-L 方程：\(\tfrac{3}{2}m\ddot x = mg\sin\alpha\)，故 \(\ddot x = \dfrac{2g\sin\alpha}{3}\)。

(c) 纯滑动加速度为 \(g\sin\alpha\)，滚动时减小为其 \(2/3\)。

1.4 中心力场

填空 质量 \(m\) 在中心力场 \(V(r)\) 中运动，以 \((r,\phi)\) 为广义坐标，Lagrangian 为 \(L =\) 。守恒的角动量为 \(l =\) ，有效势为 \(V_\text{eff}(r) =\) 。
\[L = \tfrac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2\dot\phi^2) - V(r)\] \[l = mr^2\dot\phi \quad(\text{守恒})\] \[V_\text{eff}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}\]
填空 开普勒问题 \(V(r) = -\alpha/r\)，轨道方程（Binet 方程的解）为 \(r(\phi) =\) ，其中半通径 \(p =\) ，离心率 \(e =\) 。束缚轨道（\(E<0\)）对应 形轨道。
\[r(\phi) = \frac{p}{1 + e\cos\phi}, \quad p = \frac{l^2}{m\alpha}, \quad e = \sqrt{1 + \frac{2El^2}{m\alpha^2}}\] \(E < 0\) 时 \(0 \le e < 1\)，轨道为椭圆。