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第 2 章：Hamilton 力学

2.1 基本框架

填空 由 Lagrangian \(L(q,\dot q,t)\) 定义广义动量 \(p_i =\) ，Hamiltonian 通过 Legendre 变换定义为 \(H =\) ，正则方程为：
\(\dot q_i =\) ，\(\quad \dot p_i =\)
\(p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\)；\(H = \displaystyle\sum_i p_i\dot q_i - L\)；正则方程： \[\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\]
填空 任意力学量 \(f(q,p,t)\) 的时间演化方程为 \(\dot f =\) ，其中 Poisson 括号定义为 \(\{f,g\} =\) 。
\[\dot f = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}\] \[\{f,g\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)\]
填空 基本 Poisson 括号：\(\{q_i, q_j\} =\) ，\(\{p_i, p_j\} =\) ，\(\{q_i, p_j\} =\) 。若 \(\{f, H\} = 0\) 且 \(\partial f/\partial t = 0\)，则 \(f\) 是 。
\(\{q_i,q_j\}=0\)，\(\{p_i,p_j\}=0\)，\(\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}\)。
\(\{f,H\}=0\) 且无显含时间 \(\Rightarrow\) \(f\) 是守恒量（运动积分）。

2.2 球面上的粒子（续）

简答 质量 \(m\) 的粒子在半径 \(R\) 的球面上运动（重力 \(g\)），广义坐标 \((\theta,\phi)\)。
(a) 写出共轭动量 \(p_\theta, p_\phi\) 及 Hamiltonian \(H\)；
(b) 写出四个正则方程；
(c) 计算 \(\{p_\phi, H\}\)，说明 \(p_\phi\) 守恒的原因；
(d) 计算 \(\{p_\theta, p_\phi\}\)，解释其物理含义。
(a) \(p_\theta = mR^2\dot\theta\)，\(p_\phi = mR^2\sin^2\!\theta\,\dot\phi\)； \[H = \frac{p_\theta^2}{2mR^2} + \frac{p_\phi^2}{2mR^2\sin^2\!\theta} - mgR\cos\theta\] (b) \(\dot\theta = p_\theta/(mR^2)\)，\(\dot\phi = p_\phi/(mR^2\sin^2\!\theta)\)， \(\dot p_\theta = \dfrac{p_\phi^2\cos\theta}{mR^2\sin^3\!\theta} - mgR\sin\theta\)，\(\dot p_\phi = 0\)。

(c) \(\{p_\phi, H\} = -\partial H/\partial\phi = 0\)，因 \(H\) 不显含 \(\phi\)（轴对称），故 \(p_\phi = M_z\) 守恒。

(d) \(\{p_\theta, p_\phi\} = \partial p_\theta/\partial\theta \cdot \partial p_\phi/\partial p_\theta - \ldots = 0\)（两者均为动量，Poisson 括号为零），说明两守恒量相容，系统可积。

2.3 正则变换

填空 正则变换 \((q,p)\to(Q,P)\) 保持正则方程形式不变，其充要条件是变换保持 不变，即 \(\{Q_i, P_j\}_\text{old} =\) 。生成函数 \(F_1(q,Q,t)\) 给出变换关系 \(p =\) ，\(P =\) ，新 Hamiltonian \(K =\) 。
保持 Poisson 括号（辛结构）不变；\(\{Q_i,P_j\}_\text{old}=\delta_{ij}\)。
\[p = \frac{\partial F_1}{\partial q},\quad P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q},\quad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}\]

2.4 Hamilton-Jacobi 方程

填空 Hamilton-Jacobi 方程为 \(H\!\left(q,\dfrac{\partial S}{\partial q},t\right) +\) \(= 0\)，其中 \(S\) 称为 。对定态问题（\(H\) 不含 \(t\)），令 \(S = W(q) -\) ，方程化为 \(H(q, \partial W/\partial q) =\) 。
\[H\!\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\] \(S\) 称为 Hamilton 主函数。定态：\(S = W(q) - Et\)，方程化为 \(H(q,\partial W/\partial q) = E\)（Hamilton 特征函数方程）。
简答 用 Hamilton-Jacobi 方法求解一维谐振子 \(H = \dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E\)。
(a) 写出特征函数方程，求 \(W(q)\)（积分形式即可）；
(b) 由 \(\partial W/\partial E = \beta\)（常数）求 \(q(t)\)。
(a) \(\dfrac{1}{2m}\!\left(\dfrac{dW}{dq}\right)^2 + \dfrac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E\)，故 \[W = \int\sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}\,dq\] (b) \(\dfrac{\partial W}{\partial E} = \int\dfrac{m\,dq}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2 q^2}} = \dfrac{1}{\omega}\arcsin\!\left(q\sqrt{\dfrac{m\omega^2}{2E}}\right) = t - t_0\)，故 \(q = \sqrt{\dfrac{2E}{m\omega^2}}\sin\omega(t-t_0)\)。

2.5 电磁场中的带电粒子

填空 电荷 \(q\)、质量 \(m\) 的粒子在标势 \(\varphi\) 和矢势 \(\vec A\) 中运动，Lagrangian 为 \(L =\) 。广义动量（正则动量）\(\vec p =\) ，注意它与机械动量 \(m\vec v\) 的区别。
\[L = \tfrac{1}{2}m v^2 - q\varphi + q\vec v\cdot\vec A\] 正则动量：\(\vec p = m\vec v + q\vec A\)（机械动量加上场的贡献）。
填空 由正则动量 \(\vec p = m\vec v + q\vec A\) 作 Legendre 变换，Hamiltonian 为 \(H =\) 。
\[H = \frac{(\vec p - q\vec A)^2}{2m} + q\varphi\] （将 \(m\vec v = \vec p - q\vec A\) 代入 \(H = \vec p\cdot\vec v - L\) 即得。）