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第 4 章：Maxwell 方程与静场

4.1 Maxwell 方程组

填空 写出真空中 Maxwell 方程组的微分形式（SI 单位）：
\(\nabla\cdot\vec E =\)

\(\nabla\cdot\vec B =\)

\(\nabla\times\vec E =\)

\(\nabla\times\vec B =\)
\[\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \nabla\cdot\vec B = 0\] \[\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t},\quad \nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}\]
填空 介质中，引入辅助场 \(\vec D =\) 和 \(\vec H =\) ，Maxwell 方程中 \(\nabla\cdot\vec D =\) ，\(\nabla\times\vec H =\) （\(\rho_f,\vec J_f\) 为自由电荷和电流）。
\(\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P = \varepsilon\vec E\)，\(\vec H = \vec B/\mu_0 - \vec M = \vec B/\mu\)； \[\nabla\cdot\vec D = \rho_f,\qquad \nabla\times\vec H = \vec J_f + \frac{\partial\vec D}{\partial t}\]

4.2 边界条件

填空 两种介质界面处（法向 \(\hat n\) 从介质1指向介质2，界面自由面电荷密度 \(\sigma_f\)，面电流密度 \(\vec K_f\)），电磁场边界条件为：
法向 \(D\)：\((D_{2n}-D_{1n}) =\)

法向 \(B\)：\((B_{2n}-B_{1n}) =\)

切向 \(E\)：\((\vec E_2-\vec E_1)\times\hat n =\)

切向 \(H\)：\((\vec H_2-\vec H_1)\times\hat n =\)
\[D_{2n}-D_{1n} = \sigma_f\] \[B_{2n}-B_{1n} = 0\] \[(\vec E_2-\vec E_1)\times\hat n = 0\quad(\text{切向}E\text{连续})\] \[(\vec H_2-\vec H_1)\times\hat n = \vec K_f\]
填空 理想导体（\(\sigma\to\infty\)）内部 \(\vec E =\) ，\(\vec B =\) 。导体表面外侧，法向电场 \(E_n =\) ，切向电场 \(E_t =\) 。
导体内 \(\vec E=0\)，\(\vec B=0\)（静态）或趋肤深度内衰减（动态）。
表面外侧：\(E_n = \sigma_f/\varepsilon_0\)，\(E_t = 0\)。

4.3 静电场

填空 静电场中 \(\vec E = -\nabla\Phi\)，电势满足 Poisson 方程 ；无电荷区域满足 Laplace 方程 。点电荷 \(q\) 在原点产生的电势为 \(\Phi =\) 。
\[\nabla^2\Phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0};\qquad \nabla^2\Phi = 0\] \[\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\]
简答 一个均匀带电球壳，半径为 \(R\)，总电荷 \(Q\)。
(1) 用 Gauss 定律分别求球壳内外的电场 \(\vec E\)；
(2) 写出球壳内外的电势 \(\Phi(r)\)（取无穷远为零）；
(3) 验证电势在 \(r=R\) 处连续，但法向电场有跳变，跳变量等于 \(\sigma/\varepsilon_0\)（\(\sigma=Q/4\pi R^2\)）。
(1) 取半径 \(r\) 的 Gauss 球面：
\(r>R\)：\(E\cdot4\pi r^2 = Q/\varepsilon_0\)，\(\vec E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat r\)；
\(r<R\)：内部无电荷，\(\vec E = 0\)。

(2) \(\Phi(r>R) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)；\(\Phi(r<R) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}\)（常数）。

(3) \(r=R\) 处 \(\Phi\) 连续（均为 \(Q/4\pi\varepsilon_0 R\)）；法向电场跳变： \[E_n^\text{out} - E_n^\text{in} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2} - 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\quad\checkmark\]

4.4 静磁场

填空 静磁场中 \(\vec B = \nabla\times\vec A\)，在 Coulomb 规范 \(\nabla\cdot\vec A=0\) 下，\(\vec A\) 满足方程 。Biot-Savart 定律：电流元 \(Id\vec l\) 在场点 \(\vec r\) 产生的磁场为 \(d\vec B =\) 。
\[\nabla^2\vec A = -\mu_0\vec J\] \[d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}\]
简答 无限长直导线通电流 \(I\)。
(1) 用 Ampere 定律求距导线 \(s\) 处的磁场 \(\vec B\)；
(2) 写出矢势 \(\vec A\)（方向沿导线，取参考点 \(s_0\)）；
(3) 两根平行导线（间距 \(d\)，电流分别为 \(I_1,I_2\)），单位长度上的安培力为多少？同向电流相吸还是相斥？
(1) Ampere 环路（半径 \(s\) 的圆）：\(B\cdot2\pi s = \mu_0 I\)，故 \[\vec B = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat\phi\] (2) \(\vec A = -\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln(s/s_0)\,\hat z\)（可验证 \(\nabla\times\vec A = \vec B\)）。

(3) 导线2所在处磁场 \(B_1=\mu_0 I_1/(2\pi d)\)，单位长度安培力： \[\frac{F}{l} = I_2 B_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\] 同向电流（\(I_1 I_2>0\)）相吸，反向相斥。

4.5 能量与 Poynting 矢量

填空 电磁场能量密度 \(u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 +\) ，Poynting 矢量（能流密度）\(\vec S =\) 。Poynting 定理（微分形式）：\(\partial u/\partial t + \nabla\cdot\vec S =\) 。
\[u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2,\quad \vec S = \frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B\] \[\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\vec S = -\vec J\cdot\vec E\]