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第 5 章：Laplace 方程求解

5.1 分离变量：球坐标

背景：在球坐标 \((r,\theta,\phi)\) 中，对轴对称问题（无 \(\phi\) 依赖），令 \(\Phi=R(r)\Theta(\theta)\)， 代入 Laplace 方程后可分离变量。\(\theta\) 方向的方程化为 Legendre 方程， 有界解为 Legendre 多项式 \(P_l(\cos\theta)\)（\(l=0,1,2,\ldots\)）； 径向方程的通解为 \(R_l = A_l r^l + B_l r^{-(l+1)}\)（\(r^l\) 在原点有界，\(r^{-(l+1)}\) 在无穷远趋零）。 最终通解为各 \(l\) 的叠加，系数由边界条件和 Legendre 多项式的正交性确定： \[\int_{-1}^{1}P_l(x)P_{l'}(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}\]

填空 轴对称问题中，Laplace 方程的通解为：
\(\Phi(r,\theta) = \displaystyle\sum_{l=0}^{\infty}\left(\rule{0pt}{1.2em}\right.\)\(\left.\rule{0pt}{1.2em}\right)P_l(\cos\theta)\)
前几个 Legendre 多项式：\(P_0 =\) ，\(P_1 =\) ，\(P_2 =\) 。
\[\Phi(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)\] \[P_0=1,\quad P_1=\cos\theta,\quad P_2=\tfrac{1}{2}(3\cos^2\theta-1)\]
简答 半径为 \(R\) 的接地导体球（\(\Phi=0\)）置于均匀外电场 \(\vec E_0 = E_0\hat z\) 中。
(1) 写出远场边界条件（\(r\to\infty\) 时 \(\Phi\to\) ?）和导体表面条件；
(2) 说明为何通解只保留 \(l=1\) 项，写出内外电势的形式；
(3) 由边界条件定出系数，写出最终电势 \(\Phi(r,\theta)\)；
(4) 求导体表面感应电荷密度 \(\sigma(\theta)\)。
(1) \(r\to\infty\)：\(\Phi\to -E_0 r\cos\theta\)；\(r=R\)：\(\Phi=0\)。

(2) 远场只含 \(r^1 P_1\)，故通解只需 \(l=1\)：\(\Phi = \left(Ar + B/r^2\right)\cos\theta\)。

(3) \(r\to\infty\)：\(A=-E_0\)；\(r=R\)：\((-E_0 R + B/R^2)=0\)，故 \(B=E_0 R^3\)。 \[\Phi = -E_0\left(r - \frac{R^3}{r^2}\right)\cos\theta\] (4) \(\sigma = -\varepsilon_0\dfrac{\partial\Phi}{\partial r}\Big|_{r=R} = \varepsilon_0 E_0\left(1+\dfrac{2R^3}{r^3}\right)\cos\theta\Big|_{r=R} = 3\varepsilon_0 E_0\cos\theta\)。

5.2 镜像法

背景：镜像法用虚拟的"像电荷"替代导体上的感应电荷，使得在导体表面电势为零（或给定值）的边界条件自动满足。 像电荷放在导体内部（求解区域之外），不影响真实区域的 Laplace 方程。

简答 点电荷 \(q\) 位于接地无限大导体平面（\(z=0\)）上方距离 \(d\) 处（即 \(z=d\)）。
(1) 说明像电荷的位置和大小；
(2) 写出 \(z>0\) 区域的电势 \(\Phi(x,y,z)\)；
(3) 求导体表面（\(z=0\)）的感应电荷密度 \(\sigma(x,y)\)，并验证总感应电荷为 \(-q\)；
(4) 求点电荷受到的像力（大小和方向）。
(1) 像电荷 \(-q\) 位于 \(z=-d\)（导体内，关于平面对称）。

(2) 令 \(r_+ = \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}\)，\(r_- = \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}\)： \[\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-}\right)\quad(z>0)\] (3) \(\sigma = -\varepsilon_0\partial\Phi/\partial z|_{z=0}\)，令 \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\)： \[\sigma = -\frac{qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}\] 总电荷：\(\int_0^\infty\sigma\cdot2\pi\rho\,d\rho = -qd\int_0^\infty\dfrac{\rho\,d\rho}{(\rho^2+d^2)^{3/2}} = -q\)。\(\checkmark\)

(4) 像力 = \(q\) 与 \(-q\)（距离 \(2d\)）之间的 Coulomb 力： \[F = -\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2} = -\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2}\] 方向指向导体（吸引力）。
简答 点电荷 \(q\) 位于接地导体球（半径 \(R\)）外，距球心距离为 \(a\)（\(a>R\)）。
(1) 像电荷的大小 \(q'\) 和位置 \(b\)（距球心）是多少？（直接给出结论并验证球面电势为零。）
(2) 写出球外区域的电势；
(3) 若导体球不接地而是电中性，需要额外添加什么？电势如何修正？
(1) 像电荷：\(q' = -\dfrac{R}{a}q\)，位于球心与 \(q\) 连线上距球心 \(b=R^2/a\) 处（球内）。
验证：球面上任意点 \(P\)，\(|Pq|/|Pq'| = a/R\)（Apollonius 圆），故 \[\Phi_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{|Pq|}+\frac{q'}{|Pq'|}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}\left(\frac{a}{|Pq|}-\frac{R}{a}\cdot\frac{a}{R}\cdot\frac{R}{|Pq'|}\right)=0\quad\checkmark\] (2) \(\Phi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac{q}{r_q}+\dfrac{q'}{r_{q'}}\right)\)，\(r_q,r_{q'}\) 分别为场点到 \(q\) 和 \(q'\) 的距离。

(3) 电中性球：在球心再加像电荷 \(-q' = +Rq/a\)，使总感应电荷为零。电势在球外增加 \(\dfrac{Rq}{4\pi\varepsilon_0 a r}\) 一项（等效为球心处的点电荷）。

5.3 多极展开

填空 电荷分布 \(\rho(\vec r')\) 在远场（\(r\gg r'\)）的电势展开为：
\(\Phi(\vec r) \approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q}{r} + \dfrac{\vec p\cdot\hat r}{r^2} + \cdots\right)\)
其中单极矩 \(Q =\) ，偶极矩 \(\vec p =\) 。
\[Q = \int\rho(\vec r')\,d^3r',\qquad \vec p = \int\vec r'\,\rho(\vec r')\,d^3r'\]
简答 均匀极化介质球（半径 \(R\)，极化强度 \(\vec P = P\hat z\)）。
(1) 求束缚体电荷密度 \(\rho_b\) 和束缚面电荷密度 \(\sigma_b(\theta)\)；
(2) 利用球内均匀极化球产生均匀内场的结论，写出球内电场 \(\vec E_\text{in}\)（用 \(P,\varepsilon_0\) 表示）。
(1) \(\rho_b = -\nabla\cdot\vec P = 0\)（均匀极化）；\(\sigma_b = \vec P\cdot\hat n = P\cos\theta\)。

(2) 均匀极化球内场：\(\vec E_\text{in} = -\dfrac{\vec P}{3\varepsilon_0}\)（由分离变量或叠加原理可得）。