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第 6 章：量子力学基础与一维问题

6.1 基本框架

填空 含时 Schrödinger 方程为 。对定态（\(H\) 不含 \(t\)），令 \(\psi(\vec r,t)=\phi(\vec r)e^{-iEt/\hbar}\)，得定态方程 。
\[i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat H\psi\] \[\hat H\phi = E\phi,\quad \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec r)\]
填空 位置算符 \(\hat x\) 和动量算符 \(\hat p_x\) 的对易关系为 \([\hat x, \hat p_x] =\) 。由此推导不确定性原理：\(\Delta x\,\Delta p_x \ge\) 。能量-时间不确定性关系为 \(\Delta E\,\Delta t \ge\) 。
\[[\hat x,\hat p_x] = i\hbar\] \[\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2},\qquad \Delta E\,\Delta t \ge \frac{\hbar}{2}\]
填空 算符 \(\hat A\) 的期望值为 \(\langle\hat A\rangle =\) 。Ehrenfest 定理：\(\dfrac{d\langle\hat A\rangle}{dt} =\) 。若 \([\hat A,\hat H]=0\) 且 \(\hat A\) 不显含 \(t\)，则 \(\langle\hat A\rangle\) 是 。
\[\langle\hat A\rangle = \int\psi^*\hat A\psi\,d^3r\] \[\frac{d\langle\hat A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat A,\hat H]\rangle + \left\langle\frac{\partial\hat A}{\partial t}\right\rangle\] \([\hat A,\hat H]=0\) 且无显含时 \(\Rightarrow\) \(\langle\hat A\rangle\) 守恒。

6.2 无限深方势阱

填空 宽度为 \(a\) 的一维无限深方势阱（\(0\le x\le a\)），归一化能量本征函数为 \(\phi_n(x) =\) ，对应能量 \(E_n =\) （\(n=1,2,3,\ldots\)）。
\[\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a},\qquad E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\]
简答 粒子在宽度为 \(a\) 的无限深方势阱中，\(t=0\) 时波函数为 \(\psi(x,0)=A x(a-x)\)（\(0\le x\le a\)）。
(1) 归一化，求常数 \(A\)；
(2) 将 \(\psi(x,0)\) 展开为本征态叠加 \(\psi=\sum_n c_n\phi_n\)，写出 \(c_n\) 的积分表达式，说明为何偶数项 \(c_{2k}=0\)；
(3) 写出 \(\psi(x,t)\) 的表达式；
(4) 能量期望值 \(\langle E\rangle\) 是否随时间变化？
(1) \(\int_0^a A^2 x^2(a-x)^2\,dx = A^2 a^5/30 = 1\)，故 \(A=\sqrt{30/a^5}\)。

(2) \(c_n = \int_0^a\phi_n^*(x)\psi(x,0)\,dx = \sqrt{2/a}\cdot A\int_0^a x(a-x)\sin(n\pi x/a)\,dx\)。
\(x(a-x)\) 关于 \(x=a/2\) 对称（偶函数），\(\sin(2k\pi x/a)\) 关于 \(x=a/2\) 反对称，积分为零，故 \(c_{2k}=0\)。

(3) \(\psi(x,t) = \sum_n c_n\phi_n(x)e^{-iE_n t/\hbar}\)。

(4) \(\langle E\rangle = \sum_n|c_n|^2 E_n\) 不随时间变化（能量守恒）。

6.3 谐振子

填空 一维谐振子 \(\hat H = \dfrac{\hat p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}m\omega^2\hat x^2\)，定义升降算符 \(\hat a^\dagger =\) ，\(\hat a =\) 。对易关系 \([\hat a,\hat a^\dagger]=\) ，Hamiltonian 化为 \(\hat H =\) 。
\[\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\omega\hbar}}\hat p,\quad \hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\omega\hbar}}\hat p\] \[[\hat a,\hat a^\dagger]=1,\qquad \hat H = \hbar\omega\!\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac{1}{2}\right)\]
填空 谐振子能量本征值为 \(E_n =\) （\(n=0,1,2,\ldots\)）。升降算符作用：\(\hat a|n\rangle =\) ，\(\hat a^\dagger|n\rangle =\) 。基态波函数 \(\phi_0(x) =\) 。
\[E_n = \hbar\omega\!\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\] \[\hat a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle,\qquad \hat a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle\] \[\phi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right)\]

6.4 势垒隧穿

背景：粒子能量 \(E\) 小于势垒高度 \(V_0\) 时，经典力学预言粒子被完全反射， 但量子力学中波函数在势垒内指数衰减而非为零，存在有限的透射概率（隧穿效应）。

填空 粒子（能量 \(E\)）入射高度 \(V_0>E\)、宽度 \(L\) 的方势垒。势垒内波函数形式为 \(\psi =\) ，其中衰减常数 \(\kappa =\) 。宽势垒（\(\kappa L\gg1\)）近似下，透射系数 \(T\approx\) 。
\[\psi = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x},\qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\] \[T \approx 16\frac{E}{V_0}\!\left(1-\frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa L}\]
简答 考虑一维势 \(V(x) = V_0 > 0\)（\(0\le x\le L\)），其余为零。粒子从左入射，能量 \(E \lt V_0\)。
(1) 写出三个区域（\(x\lt0\)，\(0\le x\le L\)，\(x>L\)）的波函数形式（含待定系数）；
(2) 说明透射系数 \(T\) 随势垒宽度 \(L\) 增大如何变化（定性）；
(3) 若 \(E > V_0\)，\(T\) 何时等于1（共振透射条件）？
(1) \(x\lt0\)：\(\psi_1 = e^{ikx}+re^{-ikx}\)，\(k=\sqrt{2mE}/\hbar\)；
\(0\le x\le L\)：\(\psi_2 = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\)，\(\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\)；
\(x>L\)：\(\psi_3 = te^{ikx}\)。

(2) \(T\propto e^{-2\kappa L}\)，随 \(L\) 增大指数衰减。

(3) \(E>V_0\) 时势垒内 \(k'=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar\)，共振条件：\(k'L = n\pi\)（\(n=1,2,\ldots\)），此时 \(T=1\)。