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第 9 章：量子统计与相变

9.1 量子分布函数

填空 量子统计中，单粒子态能量为 \(\varepsilon\) 的平均占据数：
Fermi-Dirac 分布（费米子）：\(\bar n_\varepsilon =\)

Bose-Einstein 分布（玻色子）：\(\bar n_\varepsilon =\)

两者在 \(e^{\beta(\varepsilon-\mu)}\gg1\) 时均退化为 Maxwell-Boltzmann 分布 \(\bar n_\varepsilon\approx\) 。
\[\bar n_\varepsilon^\text{FD} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1},\qquad \bar n_\varepsilon^\text{BE} = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1}\] 经典极限：\(\bar n_\varepsilon \approx e^{-\beta(\varepsilon-\mu)}\)。

9.2 自由 Fermi 气体

背景：\(N\) 个自旋 \(1/2\) 的自由费米子（如金属中的电子）在体积 \(V\) 中。 \(T=0\) 时所有能量低于 Fermi 能 \(E_F\) 的态被填满，高于 \(E_F\) 的态全空。 低温性质由 Fermi 面附近的态决定，热容远小于经典值。

填空 三维自由电子气，态密度（含自旋简并 \(g_s=2\)）为 \(g(\varepsilon) =\) 。\(T=0\) 时由 \(\int_0^{E_F}g(\varepsilon)\,d\varepsilon = N\) 得 Fermi 能 \(E_F =\) 。
\[g(\varepsilon) = \frac{4\pi(2m)^{3/2}}{h^3}V\sqrt{\varepsilon} = \frac{3N}{2E_F^{3/2}}\sqrt{\varepsilon}\] \[E_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2\frac{N}{V}\right)^{2/3}\]
简答 考虑三维理想 Fermi 气体（\(N\) 个电子，体积 \(V\)，Fermi 能 \(E_F\)）。
(1) 求 \(T=0\) 时的总能量 \(U_0\)（用 \(N,E_F\) 表示）；
(2) 低温展开（Sommerfeld）给出 \(U\approx U_0+\dfrac{\pi^2}{6}g(E_F)(k_BT)^2\)，其中 \(g(E_F)=\dfrac{3N}{2E_F}\)，由此求低温热容 \(C_V\)，并与经典值 \(\dfrac{3}{2}Nk_B\) 比较。
(1) \(U_0 = \int_0^{E_F}\varepsilon\,g(\varepsilon)\,d\varepsilon = \dfrac{3}{5}NE_F\)。

(2) \(C_V = \dfrac{\partial U}{\partial T} = \dfrac{\pi^2}{3}g(E_F)k_B^2 T = \dfrac{\pi^2}{2}Nk_B\dfrac{T}{T_F}\ll \dfrac{3}{2}Nk_B\)。
热容被压低了 \(\sim T/T_F\) 倍，因为只有 Fermi 面附近 \(\sim k_BT\) 范围内的电子能被激发。

9.3 Bose-Einstein 凝聚

背景：玻色子的化学势 \(\mu\le0\)（对于无质量玻色子 \(\mu=0\)）。 当温度降至临界温度 \(T_c\) 以下，宏观数量的粒子凝聚到基态（\(\varepsilon=0\)）， 形成 Bose-Einstein 凝聚（BEC）。

填空 三维理想 Bose 气体，BEC 临界温度由 \(\mu\to0^-\) 时粒子数方程确定：
\(N = \int_0^\infty \dfrac{g(\varepsilon)}{e^{\beta\varepsilon}-1}\,d\varepsilon\Big|_{\mu=0}\)
结果为 \(k_BT_c =\) （\(\zeta(3/2)\approx2.612\)）。\(T \lt T_c\) 时基态占据数 \(N_0/N =\) 。
\[k_BT_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m}\left(\frac{N}{V\,\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\] \[\frac{N_0}{N} = 1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\quad(T \lt T_c)\]

9.4 Ising 模型与平均场

背景：Ising 模型描述磁性相变。每个格点有自旋 \(s_i=\pm1\)，Hamiltonian 为 \[\mathcal{H} = -J\sum_{\langle ij\rangle}s_is_j\] 其中求和遍历所有近邻对，\(J\gt0\) 对应铁磁耦合（相邻自旋倾向平行）。 多体问题精确求解困难，平均场近似的思路是：把每个自旋的邻居用其平均值 \(\langle s_j\rangle = m\) 代替， 从而将多体问题化为单个自旋在有效外场中的单体问题。\(m\) 称为序参量，\(m\neq0\) 表示有序（铁磁）相。

简答 设格点配位数为 \(z\)（每个自旋有 \(z\) 个近邻）。
(1) 对中心自旋 \(s_0\)，将其所有邻居替换为平均值 \(m\)，写出有效单体 Hamiltonian \(\mathcal{H}_\text{eff}\)；
(2) 由此写出单自旋配分函数 \(Z_1\)，并求 \(\langle s_0\rangle\)；
(3) 自洽条件要求 \(\langle s_0\rangle = m\)，写出自洽方程，并由 \(m=0\) 附近的线性稳定性分析给出临界温度 \(T_c\)。
(1) 中心自旋与 \(z\) 个邻居耦合，每个邻居用 \(m\) 代替： \[\mathcal{H}_\text{eff} = -zJm\cdot s_0\] (2) \(s_0=\pm1\)，故 \[Z_1 = e^{\beta zJm}+e^{-\beta zJm} = 2\cosh(\beta zJm)\] \[\langle s_0\rangle = \frac{e^{\beta zJm}-e^{-\beta zJm}}{e^{\beta zJm}+e^{-\beta zJm}} = \tanh(\beta zJm)\] (3) 自洽方程：\(m = \tanh(\beta zJm)\)。
在 \(m=0\) 处线性化：右端斜率为 \(\beta zJ\)。
\(\beta zJ \lt 1\)（高温）：唯一解 \(m=0\)（无序相）；
\(\beta zJ \gt 1\)（低温）：出现非零解（有序相）。
临界条件 \(\beta_c zJ=1\)，故 \(k_BT_c = zJ\)。