第 3 章：数值积分

梯形：\(\dfrac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\)，误差 \(O(h^3)\)（单区间），即 \(-\frac{h^3}{12}f''(\xi)\)

Simpson：\(\dfrac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]\)，误差 \(O(h^5)\)，即 \(-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)\)

\[T_h = h\left[\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\right]\] \[I - T_h = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi) = O(h^2)\]

代数精度 \(m\)：对所有次数 \(\le m\) 的多项式精确，对某次数 \(m+1\) 的多项式不精确。
梯形：代数精度 1；Simpson：代数精度 3。

\(n+1\) 个节点 \(x_0,\dots,x_n\) 和权重 \(w_0,\dots,w_n\) 共 \(2n+2\) 个自由度，最高可达代数精度 \(2n+1\)。

关键：节点取权函数 \(\rho(x)\) 对应的 \(n+1\) 次正交多项式的零点（如标准 Gauss-Legendre 取 Legendre 多项式零点）。权重由插值型公式确定：\(w_k = \int_a^b \rho(x)\ell_k(x)\,dx\)。

误差：\(I(f)-I_{n+1}(f) = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_a^b\rho(x)\omega_{n+1}^2(x)\,dx\)。

充分性：设节点为正交多项式 \(p_{n+1}\) 的零点。对任意次数 \(\le 2n+1\) 的多项式 \(f\)，作带余除法 \(f = q\cdot p_{n+1} + r\)，其中 \(\deg r \le n\)。
插值型公式对 \(r\) 精确（\(\deg r\le n\le 2n+1\) 且插值型公式对 \(\le n\) 次精确）。
对 \(q\cdot p_{n+1}\)：\(\int \rho\, q\, p_{n+1}\,dx = 0\)（正交性，\(\deg q\le n\)）；求积公式值 \(\sum w_k q(x_k)p_{n+1}(x_k)=0\)（节点是零点）。故两边相等。

必要性：若代数精度 \(\ge 2n+1\)，取 \(f(x)=\omega_{n+1}(x)\cdot p(x)\)（\(\deg p\le n\)），公式精确，而 \(\sum w_k f(x_k)=0\)，故 \(\int\rho\,\omega_{n+1}\,p\,dx=0\) 对所有 \(\deg p\le n\) 成立，即 \(\omega_{n+1}\) 与所有低次多项式正交。

Fourier 分析方法：设 \(f\) 的 Fourier 系数为 \(\hat f_k = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx\)，则 \(I(f)=2\pi\hat f_0\)。

离散求和的 Poisson 求和公式给出：\(ITr_h(f) = 2\pi\sum_{j=-\infty}^\infty \hat f_{jn}\)。

故误差 \(I(f)-ITr_h(f) = -2\pi\sum_{j\neq 0}\hat f_{jn}\)。

由 \(f\in C^m\)，\(|\hat f_k|\le C|k|^{-m}\)，故 \(|I-ITr_h|\le C\sum_{j\neq0}|jn|^{-m} = Cn^{-m}\cdot 2\zeta(m) = O(h^m)\)。

令 \(h=b-a\)，\(m=(a+b)/2\)。将 \(f\) 在 \(m\) 处 Taylor 展开：\(f(x)=f(m)+f'(m)(x-m)+\frac{1}{2}f''(m)(x-m)^2+\cdots\)

精确积分：\(\int_a^b f\,dx = hf(m)+\frac{h^3}{24}f''(m)+O(h^5)\)（奇次项积分为零）。

梯形值：\(\frac{h}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{h}{2}[2f(m)+f''(m)\frac{h^2}{4}\cdot2+O(h^4)]=hf(m)+\frac{h^3}{4}f''(m)\cdot\frac{1}{2}+O(h^5)\)。

误差 \(=\frac{h^3}{24}f''(m)-\frac{h^3}{8}f''(m)+O(h^5)=-\frac{h^3}{12}f''(\xi)\)（用中值定理将 \(f''(m)\) 换为 \(f''(\xi)\)）。

令 \(h=(b-a)/2\)，\(m=(a+b)/2\)，在 \(m\) 处展开 \(f\)：
\(\int_a^b f\,dx = 2hf(m)+\frac{2h^3}{6}f''(m)+\frac{2h^5}{120}f^{(4)}(m)+O(h^7)\)

Simpson 值：\(\frac{h}{3}[f(m-h)+4f(m)+f(m+h)]\)。展开 \(f(m\pm h)\)：
\(f(m\pm h)=f(m)\pm hf'+\frac{h^2}{2}f''+\pm\frac{h^3}{6}f'''+\frac{h^4}{24}f^{(4)}+O(h^5)\)
\(f(m-h)+4f(m)+f(m+h)=6f(m)+h^2f''+\frac{h^4}{12}f^{(4)}+O(h^6)\)
Simpson \(=\frac{h}{3}[6f(m)+h^2f''+\frac{h^4}{12}f^{(4)}]=2hf(m)+\frac{h^3}{3}f''+\frac{h^5}{36}f^{(4)}\)

误差 \(=\frac{2h^5}{120}f^{(4)}-\frac{h^5}{36}f^{(4)}=h^5(\frac{1}{60}-\frac{1}{36})f^{(4)}=-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)=-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)\)。

每个子区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上梯形误差为 \(-\frac{h^3}{12}f''(\xi_k)\)，求和：
\(I-T_h = \sum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{h^3}{12}f''(\xi_k)\right) = -\frac{h^3}{12}\sum_{k=0}^{n-1}f''(\xi_k)\)
由介值定理，\(\frac{1}{n}\sum f''(\xi_k)=f''(\xi)\) 对某 \(\xi\in(a,b)\)，而 \(nh=b-a\)，故
\(I-T_h = -\frac{h^3}{12}\cdot n\cdot f''(\xi) = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)\)。

对 \(f\) 作 Hermite 插值（在 \(n+1\) 个节点处各插值函数值和一阶导数值），得 \(H_{2n+1}\)，余项：
\(f(x)-H_{2n+1}(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi_x)}{(2n+2)!}[p_{n+1}(x)]^2\)

对两边乘 \(\rho\) 积分：
\(I(f)-\int\rho H_{2n+1}\,dx = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int\rho p_{n+1}^2\,dx\)（用积分中值定理）

由于 Gauss 公式对 \(\le 2n+1\) 次多项式精确，而 \(H_{2n+1}\) 是 \(2n+1\) 次多项式，故 \(\int\rho H_{2n+1}\,dx = I_{n+1}(H_{2n+1}) = I_{n+1}(f)\)（节点处 \(H_{2n+1}=f\)），代入即得。

节点：\(x_{1,2}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)，权重：\(w_1=w_2=1\)

公式：\(\displaystyle\int_{-1}^1 f\,dx\approx f\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)，代数精度 3

验证：\(f=x^3\) 时两端均为 0 ✓；\(f=x^4\) 时精确值 \(2/5\)，公式值 \(2\cdot(1/3)^2=2/9\neq2/5\)，故精度恰好为 3。