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第 7 章：常微分方程数值解（简略）

7.1 基本方法

填空 对 \(y'=f(t,y)\)，Euler 法、改进 Euler 法（Heun）、经典 RK4 的格式：
Euler：\(y_{n+1}=\) ，局部截断误差 \(O(\)\()\)

改进 Euler：\(y_{n+1}=\)

RK4：\(k_1=\) ，\(k_2=\) ，
\(k_3=\) ，\(k_4=\) ，
\(y_{n+1}=\)
Euler：\(y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)\)，误差 \(O(h^2)\)

改进 Euler：\(y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_n+hf(t_n,y_n))]\)

RK4：\(k_1=hf(t_n,y_n)\)，\(k_2=hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\)，
\(k_3=hf(t_n+h/2,y_n+k_2/2)\)，\(k_4=hf(t_n+h,y_n+k_3)\)，
\(y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\)，局部误差 \(O(h^5)\)

7.2 稳定性

填空 对测试方程 \(y'=\lambda y\)（\(\text{Re}\,\lambda<0\)），写出显式/隐式 Euler 法的绝对稳定域：
显式 Euler：

隐式 Euler：
显式 Euler：\(|1+h\lambda|<1\)，即复平面上以 \(-1\) 为圆心、半径 1 的圆盘。
隐式 Euler：\(\left|\frac{1}{1-h\lambda}\right|<1\)，即 \(\text{Re}(h\lambda)<0\) 的整个左半平面（A-稳定）。