第 8 章：偏微分方程数值解

截断误差：将精确解代入差分格式所得的余量，\(\tau = \mathcal{L}_h u - f_h\)（其中 \(\mathcal{L}_h\) 为差分算子）。

相容性：\(\|\tau\|\to0\) 当 \(h,\tau\to0\)。

稳定性：存在常数 \(C\) 使 \(\|u^n_h\|\le C\|u^0_h\|\)（对所有 \(h,\tau\) 充分小）。

收敛性：数值解趋近精确解，\(\|u^n_h - u(t_n,\cdot)\|\to0\)。

Lax 等价定理：对适定的线性初值问题，相容的差分格式稳定 \(\Leftrightarrow\) 收敛。

① 将误差展开为 Fourier 模式：\(e_j^n = g^n e^{i\xi j h}\)（\(\xi\) 为波数）。
② 代入差分格式，求增长因子 \(g(\xi)\)。
③ 稳定性条件：\(|g(\xi)|\le 1+C\tau\)（对所有 \(\xi\)），通常要求 \(|g|\le1\)。

截断误差：Taylor 展开，\(\tau = u_t - u_{xx} + O(\tau + h^2)\)，故截断误差为 \(O(\tau+h^2)\)，一阶时间、二阶空间。

冯·诺依曼分析：令 \(u_j^n = g^n e^{i\xi jh}\)，代入： \[g = 1 + \frac{\tau}{h^2}(e^{i\xi h}-2+e^{-i\xi h}) = 1 - \frac{4\tau}{h^2}\sin^2\frac{\xi h}{2}\] 令 \(r=\tau/h^2\)，则 \(g = 1-4r\sin^2(\xi h/2)\)。

稳定性要求 \(|g|\le1\)，即 \(-1\le 1-4r\sin^2(\cdot)\le1\)，右侧自动满足，左侧要求 \(4r\sin^2(\cdot)\le2\)，即 \(r\le\frac{1}{2}\)。

稳定性条件：\(\tau/h^2 \le 1/2\)。

截断误差：时间用中心差分（在 \(t_{n+1/2}\) 处），空间取两层平均，截断误差 \(O(\tau^2+h^2)\)，二阶精度。

冯·诺依曼：令 \(u_j^n=g^ne^{i\xi jh}\)，\(\delta_x^2\to -4\sin^2(\xi h/2)\)，设 \(\mu=2\sin^2(\xi h/2)\)： \[\frac{g-1}{\tau} = \frac{1}{h^2}\cdot(-\mu)(1+g)/2 \cdot h^2 \cdot \frac{1}{1}\] 整理：\(g-1 = -r\mu(g+1)\)，故 \(g = \dfrac{1-r\mu}{1+r\mu}\)，其中 \(r=\tau/h^2\)，\(\mu\ge0\)。

\(|g|=\left|\dfrac{1-r\mu}{1+r\mu}\right|\le1\) 对所有 \(r>0,\mu\ge0\) 成立。

无条件稳定（A-稳定）。

截断误差：时间一阶向前，空间一阶向后，截断误差 \(O(\tau+h)\)。

冯·诺依曼：令 \(\nu=a\tau/h\)（CFL 数），\(u_j^n=g^ne^{i\xi jh}\)： \[g = 1 - \nu(1-e^{-i\xi h}) = 1-\nu+\nu e^{-i\xi h}\] \[|g|^2 = (1-\nu)^2 + \nu^2 + 2\nu(1-\nu)\cos(\xi h) = 1 - 2\nu(1-\nu)(1-\cos\xi h)\] 要求 \(|g|^2\le1\)，即 \(\nu(1-\nu)\ge0\)，故 \(0\le\nu\le1\)。

稳定性条件（CFL）：\(0\le a\tau/h\le1\)。

截断误差：\(\frac{1}{2}(u_{j+1}^n+u_{j-1}^n)=u_j^n+\frac{h^2}{2}u_{xx}+O(h^4)\)，故格式等价于 \(u_t = v_x + \frac{h^2}{2\tau}u_{xx}+O(\tau+h^2/\tau)\)。相容性要求 \(h^2/\tau\to0\)，即 \(\tau=O(h)\) 时截断误差 \(O(h)\)。

冯·诺依曼：令 \(\mathbf{U}^n=(u^n,v^n)^T\)，Fourier 模式代入，增长矩阵为 \[G = \begin{pmatrix}\cos\xi h & i\nu\sin\xi h \\ i\nu\sin\xi h & \cos\xi h\end{pmatrix}\] 其中 \(\nu=\tau/h\)。特征值 \(\lambda=\cos\xi h \pm i\nu\sin\xi h\)，\(|\lambda|^2=\cos^2\xi h+\nu^2\sin^2\xi h\le1\) 当且仅当 \(\nu\le1\)。

稳定性条件：\(\tau/h\le1\)（CFL 条件）。

五点格式（中心差分）：\(\sum_{\text{邻居}} a_k U_k - a_0 U_{i,j} = 0\)，其中系数 \(a_k>0\)（在步长充分小时），\(a_0 = \sum a_k - f_{i,j}h^2 > \sum a_k\)（因 \(f<0\)）。

离散最大值原理：若 \(U\) 在内部某点取到最大值，则该点值 \(\le\) 邻居的加权平均，矛盾（因 \(a_0>\sum a_k\) 意味着中心点系数严格大于邻居系数之和）。

证明：设 \(U_{i,j}=\max_{\Omega_h} U\)，由格式 \(a_0 U_{i,j}=\sum a_k U_k\le a_0 U_{i,j}\)（等号成立当且仅当所有邻居相等），故最大值只能在边界取到（强最大值原理）。由此得唯一性和稳定性估计 \(\|U\|_\infty\le\|g\|_\infty\)（\(g\) 为边界值）。

显式格式：\(u_j^{n+1}=ru_{j+1}^n+(1-2r)u_j^n+ru_{j-1}^n\)。
当 \(r\le1/2\) 时，所有系数 \(r\ge0\) 且 \(1-2r\ge0\)，系数之和为 1。
故 \(u_j^{n+1}\) 是 \(u_{j-1}^n,u_j^n,u_{j+1}^n\) 的凸组合，若这三个值均 \(\ge0\)，则 \(u_j^{n+1}\ge0\)。由归纳法，若 \(u^n\ge0\)（含边界），则 \(u^{n+1}\ge0\)。

设 \(U,V\) 均为数值解，令 \(W=U-V\)，则 \(W\) 满足齐次方程（\(f=0\)，边界值为 0）。
由离散最大值原理，\(W\) 的最大值和最小值均在边界取到，而边界值为 0，故 \(W\equiv0\)，即 \(U=V\)。

直接展开 \(\|u^{n+1}\|_2^2 = \sum_j (u_j^{n+1})^2\)，将格式代入，展开平方，利用求和指标平移（周期边界条件下 \(\sum_j u_{j+1}^n u_j^n = \sum_j u_j^n u_{j-1}^n\) 等）整理各项。

关键恒等式：\(\|\delta_x^+u\|_2^2 = \sum_j(u_{j+1}-u_j)^2\)，\(\langle\delta_x^+u,\delta_x^-u\rangle=\sum_j(u_{j+1}-u_j)(u_j-u_{j-1})\)。

整理后得到题目中的等式。稳定性条件：右侧第二项 \(\ge0\) 当 \(|\nu|\le1\)（因 \(\|\delta_x^+u\|^2-\langle\delta_x^+u,\delta_x^-u\rangle = \frac{1}{2}\sum_j(\delta_x^+u_j-\delta_x^-u_j)^2\ge0\)），故 \(|\nu|\le1\) 时 \(\|u^{n+1}\|_2\le\|u^n\|_2\)。

CN 格式：\(\frac{u^{n+1}-u^n}{\tau}=\frac{1}{2h^2}(\delta_x^2 u^n+\delta_x^2 u^{n+1})\)。

两边与 \(u^{n+1}+u^n\) 做内积（\(\langle\cdot,\cdot\rangle=h\sum_j\)）：
左边：\(\frac{1}{\tau}\langle u^{n+1}-u^n,u^{n+1}+u^n\rangle=\frac{1}{\tau}(\|u^{n+1}\|^2-\|u^n\|^2)\)。
右边：\(\frac{1}{2h^2}\langle\delta_x^2(u^n+u^{n+1}),u^{n+1}+u^n\rangle=-\frac{1}{2h^2}\|\delta_x^+(u^n+u^{n+1})\|^2\le0\)
（用分部求和：\(\langle\delta_x^2 v,v\rangle=-\|\delta_x^+v\|^2\)）。

故 \(\|u^{n+1}\|^2\le\|u^n\|^2\)，无条件稳定。

\(\sum_j u_j\delta_x^2 v_j = \sum_j u_j(v_{j+1}-2v_j+v_{j-1})\)
\(=\sum_j u_j v_{j+1} - 2\sum_j u_j v_j + \sum_j u_j v_{j-1}\)
平移指标：\(\sum_j u_j v_{j+1}=\sum_j u_{j-1}v_j\)，\(\sum_j u_j v_{j-1}=\sum_j u_{j+1}v_j\)，故
\(=\sum_j(u_{j-1}+u_{j+1}-2u_j)v_j = -\sum_j(2u_j-u_{j-1}-u_{j+1})v_j\)
另一方面 \(\sum_j(\delta_x^+u_j)(\delta_x^+v_j)=\sum_j(u_{j+1}-u_j)(v_{j+1}-v_j)\)
\(=\sum_j u_{j+1}v_{j+1}-\sum_j u_{j+1}v_j-\sum_j u_j v_{j+1}+\sum_j u_j v_j\)
\(=\sum_j u_j v_j - \sum_j u_j v_{j-1} - \sum_j u_{j-1}v_j + \sum_j u_j v_j = \sum_j(2u_j-u_{j-1}-u_{j+1})v_j\)
两式相加为零，得证。

截断误差：时间和空间均为二阶中心差分，截断误差 \(O(\tau^2+h^2)\)。

冯·诺依曼：令 \(u_j^n=g^ne^{i\xi jh}\)，\(\nu=\tau/h\)： \[g^{n+1}-2g^n+g^{n-1}=\nu^2(e^{i\xi h}-2+e^{-i\xi h})g^n=-4\nu^2\sin^2\frac{\xi h}{2}\cdot g^n\] 令 \(\mu=-4\nu^2\sin^2(\xi h/2)\)，特征方程 \(g^2-(2+\mu)g+1=0\)，根 \(g=\frac{(2+\mu)\pm\sqrt{(2+\mu)^2-4}}{2}\)。
稳定性要求 \(|g|\le1\)，即两根均在单位圆上（模为1），需判别式 \(\le0\)：\((2+\mu)^2\le4\)，即 \(|\mu|\le4\)（且 \(\mu\le0\)），故 \(4\nu^2\sin^2(\cdot)\le4\)，即 \(\nu\le1\)。

稳定性条件：\(\tau/h\le1\)（CFL 条件）。

截断误差：将 \(u_j^{n\pm1}\) 展开，格式等价于 \[u_t = u_{xx} - \left(\frac{\tau}{h}\right)^2 u_{tt} + O(\tau^2+h^2)\] 若 \(\tau/h\to0\)，则截断误差 \(O(\tau^2+h^2)\)，格式相容；但若 \(\tau/h\to c\neq0\)，则格式不相容（逼近的是双曲方程而非热方程）。

冯·诺依曼：令 \(r=\tau/h^2\)，\(\beta=2r\cos(\xi h)\)，增长因子满足 \((1+2r)g^2-2\beta g-(1-2r)=0\)，根 \(g=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^2+(1-4r^2)}}{1+2r}\)。可验证 \(|g|\le1\) 对所有 \(\xi\) 成立（无条件稳定）。

截断误差：\(\frac{1}{2}(u_{j+1}^n+u_{j-1}^n)=u_j^n+h^2u_{xx}/2+O(h^4)\)，故时间差分实际是 \(\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\tau}+\frac{h^2}{2\tau}u_{xx}+\cdots\)，截断误差 \(O(\tau+h^2/\tau)\)，相容性要求 \(h^2/\tau\to0\)。

冯·诺依曼：令 \(\mathbf{U}^n=(u^n,v^n)^T\)，代入 Fourier 模式，增长矩阵： \[G=\begin{pmatrix}\cos\xi h & i\nu\sin\xi h\\ i\nu\sin\xi h & \cos\xi h\end{pmatrix},\quad\nu=\tau/h\] 特征值 \(\lambda=\cos\xi h\pm i\nu\sin\xi h\)，\(|\lambda|^2=\cos^2\xi h+\nu^2\sin^2\xi h\le1\) 当且仅当 \(\nu\le1\)。

稳定性条件：\(\tau/h\le1\)。

截断误差：时间中心差分，空间取两层平均，截断误差 \(O(\tau^2+h^2)\)。

冯·诺依曼：令 \(\mu=\frac{2}{h^2}\sin^2(\xi h/2)\ge0\)（即 \(-\delta_x^2\to\mu h^2\cdot\frac{2}{h^2}\sin^2\)，实际 \(\delta_x^2\to-4\sin^2(\xi h/2)\)，令 \(s=4\sin^2(\xi h/2)/h^2\ge0\)）。
增长矩阵方程：\(\frac{g-1}{\tau}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=-\frac{s}{2}(1+g)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)（类似地对 \(v\)），整理得 \[\begin{pmatrix}1&\frac{\tau s}{2}(1+g)\\-\frac{\tau s}{2}(1+g)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}g_u\\g_v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\] 增长矩阵特征值满足 \(|\lambda|=1\)（反斜对称结构），故无条件稳定。